Question

有一解三角形的題目，因紙張破損有一個條件丟失，具體如下：在△ABC中，已知a=

3

，2cos²

A+C

2

=（

2

-1）cosB，

c=

6 + 2

2

，求角A．經推斷，破損處的條件為三角形的一邊長度，且答案為A=60°．將條件補充完整填在空白處．

Answer 1

分析：根據二倍角三角函數公式結合誘導公式化簡整理，得cosB=

2

2

，所以B=45°．再分已知邊b或已知邊c兩種情況加以討論，結合三角形中大邊對大角，可得只有已知
c=

6 + 2

2

時，A=60°，是唯一確定的解．

解答：解：∵2cos²（

A+C

2

）=（

2

-1）cosB，∴1+cos（A+C）=（

2

-1）cosB，即1-cosB=（

2

-1）cosB，整理得cosB=

2

2

．
又∵0°＜B＜180°，∴B=45°．
接下來分兩種情況討論：
（1）若已知邊b，由

b

sin45°

=

3

sin60°

，求得b=

2

．
檢驗：

b

sinB

=

a

sinA

，等價于

2

sin45°

=

3

sinA

，等價于sinA=

3

2

．
又因為A∈（0，π），且a＞b，所以A＞B，∴A=60° 或者A=120°，這與已知角A的解為唯一解矛盾．
（2）若已知邊c，由B=45°，結合A=60°，得C=75°．
由

c

sin75°

=

3

sin60°

，可得 c=

6 + 2

2

．
檢驗：

c

sinC

=

a

sinA

，等價于

6 + 2 2

sin75°

=

3

sinA

，即sinA=

3

2

．
又∵A∈（0，π），且c＞a，∴只有A=60°，且此解是唯一解，符合題意．
綜上所述，可得破損處應該填上：c=

6 + 2

2

，能使角A有唯一解A=60°，
故答案為 c=

6 + 2

2

．

點評：本題給出三角形一邊和一角，探索三角形有唯一解的問題，著重考查了運用正、余弦定理解三角形，和三角恒等變換等知識，屬于中檔題．