Question

（2013•淄博二模）已知拋物線y²=4x的焦點為F₂，點F₁與F₂關于坐標原點對稱，直線m垂直于x軸（垂足為T），與拋物線交于不同的兩點P、Q且

F1P

•

F2Q

=-5．
（I）求點T的橫坐標x₀；
（II）若以F₁，F₂為焦點的橢圓C過點(1，

2

2

)．
①求橢圓C的標準方程；
②過點F₂作直線l與橢圓C交于A，B兩點，設

F2A

=λ

F2B

，若λ∈[-2，-1]，求|

TA

+

TB

|的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意得到F₁和F₂的坐標，設出P，Q的坐標，然后直接利用

F1P

•

F2Q

=-5進行求解；
（Ⅱ）①設出橢圓標準方程，利用橢圓過點(1，

2

2

)，結合a²=b²+1 即可求得a²，b²的值，則橢圓方程可求；
②當直線斜率不存在時，直接求解A，B的坐標得到|

TA

+

TB

|的值，當直線斜率存在時，設出直線方程，和橢圓方程聯立后，利用

F2A

=λ

F2B

，消掉點的坐標得到λ與k的關系，根據λ的范圍求k的范圍，然后把|

TA

+

TB

|轉化為含有k的函數式，最后利用基本不等式求出|

TA

+

TB

|的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）如圖，

由題意得F₂（1，0），F₁（-1，0），設P（x₀，y₀），則Q（x₀，-y₀），
則

F1P

=(x0+1，y0)，

F2Q

=(x0-1，-y0)．
由

F1P

•

F2Q

=-5，
得x02-1-y02=-5，即x02-y02=-4  ①
又P（x₀，y₀）在拋物線上，則y02=4x0  ②
聯立①、②得，x02-4x0+4=0，解得：x₀=2．
所以點T的橫坐標x₀=2．
（Ⅱ）（ⅰ）設橢圓的半焦距為c，由題意得c=1，
設橢圓C的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
因橢圓C過點(1，

2

2

)，
則

1

a2

+

1 2

b2

=1  ③
又a²=b²+1  ④
將④代入③，解得b²=1或b2=-

1

2

（舍去）
所以a²=b²+1=2．
故橢圓C的標準方程為

x2

2

+y2=1．
（ⅱ）1）當直線l的斜率不存在時，即λ=-1時，A(1，

2

2

)，B(1，-

2

2

)，
又T（2，0），所以|

TA

+

TB

|=|(-1，

2

2

)+(-1，-

2

2

)|=2；
2）當直線l的斜率存在時，即λ∈[-2，-1）時，設直線l的方程為y=k（x-1）．
由

y=kx-k x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），顯然y₁≠0，y₂≠0，則由根與系數的關系，
可得：x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1•x2=

2k2-2

1+2k2

．
y1+y2=k(x1+x2)-2k=

-2k

1+2k2

  ⑤
y1•y2=k2(x1x2-(x1+x2)+1)=

-k2

1+2k2

  ⑥
因為

F2A

=λ

F2B

，所以

y1

y2

=λ，且λ＜0．
將⑤式平方除以⑥式得：λ+

1

λ

+2=

-4

1+2k2

由λ∈[-2，-1），得λ+

1

λ

∈[-

5

2

，-2)，即λ+

1

λ

+2∈[-

1

2

，0)．
故-

1

2

≤

-4

1+2k2

＜0，解得k2≥

7

2

．
因為

TA

=(x1-2，y1)，

TB

=(x2-2，y2)，所以

TA

+

TB

=(x1+x2-4，y1+y2)，
又x1+x2-4=

-4(1+k2)

1+2k2

，
故|

TA

+

TB

|2=(x1+x2-4)2+(y1+y2)2=

16(1+k2)2

(1+2k2)2

+

4k2

(1+2k2)2

=

4(1+2k2)2+10(1+2k2)+2

(1+2k2)2

=4+

10

1+2k2

+

2

(1+2k2)2

．
令t=

1

1+2k2

，因為k2≥

7

2

，所以0＜

1

1+2k2

≤

1

8

，即t∈(0，

1

8

]，
所以|

TA

+

TB

|2=2t2+10t+4=2(t+

5

2

)2-

17

2

∈(4，

169

32

]．
所以|

TA

+

TB

|∈(2，

13 2

8

]
綜上所述：|

TA

+

TB

|∈[2，

13 2

8

]．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，訓練了平面向量數量積的運算，考查了分類討論的數學解題思想，訓練了利用基本不等式求最值，考查了學生的計算能力，是難度較大的題目．