Question

在平面直角坐標系xOy中，直線l與拋物線y²＝4x相交于不同的A、B兩點．

(1)如果直線l過拋物線的焦點，求·的值；

(2)如果·＝－4，證明直線l必過一定點，并求出該定點．

Answer 1

解：(1)由題意：拋物線焦點為(1,0)，設l：x＝ty＋1代入拋物線y²＝4x，消去x得y²－4ty－4＝0，設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)則y₁＋y₂＝4t，y₁y₂＝－4∴·＝x₁x₂＋y₁y₂＝(ty₁＋1)(ty₂＋1)＋y₁y₂＝t²y₁y₂＋t(y₁＋y₂)＋1＋y₁y₂＝－4t²＋4t²＋1－4＝－3. （5分）

(2)設l： x＝ty＋b代入拋物線y²＝4x，消去x得y²－4ty－4b＝0設A(x₁，y₁)，

B(x₂，y₂)，則y₁＋y₂＝4t，y₁y₂＝－4b∴·＝x₁x₂＋y₁y₂＝(ty₁＋b)(ty₂＋b)＋y₁y₂

＝t²y₁y₂＋bt(y₁＋y₂)＋b²＋y₁y₂＝－4bt²＋4bt²＋b²－4b＝b²－4b.

令b²－4b＝－4，∴b²－4b＋4＝0，∴b＝2，∴直線l過定點(2,0)．