Question

對于函數f(x)=

ax+1

x-1

（其中a為實數，x≠1），給出下列命題：
①當a=1時，f（x）在定義域上為單調增函數；
②f（x）的圖象的對稱中心為（1，a）；
③對任意a∈R，f（x）都不是奇函數；
④當a=-1時，f（x）為偶函數；
⑤當a=2時，對于滿足條件2＜x₁＜x₂的所有x₁，x₂總有f（x₁）-f（x₂）＜3（x₂-x₁）．
其中正確命題的序號為

 

．

Answer 1

分析：①由a=1，將函數用分離常數法轉化，f（x）=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

，其圖象是由y=

2

x

向右，向上平移一個單位得到的，再利用反比例函數的單調性得到結論．
②用分離常數法轉化，f(x)=

ax+1

x-1

=a+

1+a

x-1

，易得其圖象關于（1，a）對稱．
③若為是奇函數，則圖象關于原點對稱，由②易知不正確．
④由a=-1，用分離常數法轉化，f（x）=

-x+1

x-1

=-1(x≠1)，再用偶函數定義判斷．
⑤由a=2，用分離常數法轉化，f（x）=

2x+1

x-1

=2+

3

x-1

，易知在（1，+∞）上是減函數，再研究即得．

解答：解：①當a=1時，f（x）=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

，是由y=

2

x

向右，向上平移一個單位得到的，不是單調函數，不正確．
②f(x)=

ax+1

x-1

=a+

1+a

x-1

，其圖象關于（1，a）對稱，正確．
③由②知對稱點的橫坐標是1，不可能是0，所以不可能是奇函數，正確．
④當a=-1時，f（x）=

-x+1

x-1

=-1(x≠1)，定義域不關于原點對稱，所以不可能為偶函數，不正確．
⑤當a=2時，f（x）=

2x+1

x-1

=2+

3

x-1

，在（1，+∞）上是減函數，則在（2，+∞）上也是減函數
∴對于滿足條件2＜x₁＜x₂的所有x₁，x₂總有f（x₁）-f（x₂）＜3（x₂-x₁）．
故答案為：②③⑤

點評：本題主要考查形如：y=

cx+d

ax+b

的圖象和性質，研究的方法是用分離常數法轉化的為反比例型函數解決．