Question

已知正項數列{a_n}中，a₁=2，點(

an

，an+1)在函數y=x²+1的圖象上，數列{b_n}中，bn=2an．（n∈N^*）
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由正項數列{a_n}中，a₁=2，點(

an

，an+1)在函數y=x²+1的圖象上，知a_n+1=a_n+1，由此能求出a_n=n+1．
（2）由a_n=n+1，bn=2an．（n∈N^*），知bn=2n+1 ，由此能求出數列{b_n}的前n項和T_n．

解答：解：（1）∵正項數列{a_n}中，a₁=2，點(

an

，an+1)在函數y=x²+1的圖象上，
∴a_n+1=a_n+1，
∴{a_n}是首項為a₁=2，公差為d=a_n+1-a_n=1的等差數列，
∴a_n=2+（n-1）=n+1，
即a_n=n+1．
（2）∵a_n=n+1，bn=2an．（n∈N^*），
∴bn=2n+1 ，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹
=

4(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺²-4．
即Tn=2n+2-4．

點評：本題考查數列與函數的綜合，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．