Question

如圖,在矩形ABCD中,AB=,BC=3,沿對角線BD將△BCD折起,使點C移至C′點,且C′在平面ABD上的射影恰好在AB上.

(1)求證:BC′⊥平面ADC′;

(2)求點A到平面BC′D的距離;

(3)設直線AB與平面BC′D所成的角為θ,求(用反正切表示).

Answer 1

(1)證明:設C′在平面ABD上的射影為O,則O在AB上,且C′O⊥平面ABD,

∴BO是BC′在平面ABD上的射影.

∵ABCD為矩形,

∴AB⊥AD,

即BO⊥AD.

∴BC′⊥AD.

又BC′⊥C′D,

∴BC′⊥平面ADC′.

(2)解析:設點A到底面BC′D的距離為h,

則S_△BC′Dh=V_A—BC′D=V_C′—ABD=S_△ABD·C′O.

∵S_△BC′D=S_△ABD,∴h=C′O.

∵BC′⊥平面ADC′,

∴BC′⊥AC′.

在Rt△ABC′中,

AC′=.

∴C′O=.

∴h=,

即點A到平面BC′D的距離為.

(3)解析:作AE⊥C′D于E,

∵BC′⊥平面ADC′,∴AE⊥BC′.

∴AE⊥平面BC′D.

連結BE,則∠ABE是AB與平面BC′D所成的角,

即∠ABE=θ,此時AE=h=.

在Rt△ABE中,

sinθ=,

cosθ=.

∴tan=.

∴=arctan.