Question

某園林公司計劃在一塊為圓心,(為常數，單位為米)為半徑的半圓形（如圖）地上種植花草樹木，其中弓形區域用于觀賞樣板地，區域用于種植花木出售，其余區域用于種植草皮出售.已知觀賞樣板地的成本是每平方米2元，花木的利潤是每平方米8元，草皮的利潤是每平方米3元.

（1）設, ,用表示弓形的面積;

（2）園林公司應該怎樣規劃這塊土地,才能使總利潤最大? 并求相對應的

(參考公式:扇形面積公式，表示扇形的弧長)

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）當園林公司把扇形的圓心角設計成時，總利潤最大

【解析】

試題分析：（1），,

.                                    3分

(2)設總利潤為元，草皮利潤為元，花木地利潤為，觀賞樣板地成本為

，，,

 .………8分 設 .                                            

上為減函數；

上為增函數.               12分  

當時，取到最小值,此時總利潤最大.

答：所以當園林公司把扇形的圓心角設計成時，總利潤最大.     14分   

考點：函數應用題及利用導數求最值

點評：求解函數應用題先要依據題意列出函數關系式，此時要注意定義域；在求函數最值時一般借助于導數工具，本題中的函數是以角為自變量的函數，在平時的解題中遇到的較少，學生有可能想不到由導數求最值