Question

已知函數 f(x)=

1

2

x2-mlnx+(m-1)x，m∈R．
（1）當 m=2時，求函數 f（x）的最小值；
（2）當 m≤0時，討論函數 f（x）的單調性；
（3）求證：當 m=-2時，對任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1．

Answer 1

分析：（1）將m=2代入，求出函數f（x）的解析式，進而求出導函數，利用導數法求出函數的單調性，進而可得函數的最小值；
（2）求出函數的導函數的解析式，分-1＜m≤0，m=-1和m＜-1時三種情況，分別討論導函數的符號，可得函數 f（x）的單調性；
（3）設0＜x₁＜x₂，要證明

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1，即證明：f（x₂）+x₂＞f（x₁）+x₁，將m=-2代入，構造函數h(x)=f(x)+x=

1

2

x2+2lnx-2x，利用導數法分析函數的單調性，進而可得答案．

解答：解：（1）顯然函數f（x）的定義域為（0，+∞），
當m=2時，f′(x)=

x2+x-2

x

=

(x-1)(x+2)

x

．
∴當x∈（0，1）時，f'（x）＜0，
x∈（1，+∞），f'（x）＞0．
∴f（x）在x=1時取得最小值，其最小值為 f（1）=

3

2

．
（2）∵f′(x)=x-

m

x

+(m-1)=

x2+(m-1)x-m

x

=

(x-1)(x+m)

x

∴①當-1＜m≤0即-m＜1時，
若x∈（0，-m）時，f'（x）＞0，f（x）為增函數；
x∈（-m，1）時，f'（x）＜0，f（x）為減函數；
x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）為增函數
②當m=-1時，
f′(x)=

(x-1)2

x

≥0，函數f（x）在（0，+∞）上為增函數．
③當m＜-1即-m＞1時，
x∈（0，1）時，f'（x）＞0，f（x）為增函數；
x∈（1，-m）時，f'（x）＜0，f（x）為減函數；
x∈（-m，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）為增函數．
證明：（3）不妨設0＜x₁＜x₂，要證明

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1，
即證明：f（x₂）+x₂＞f（x₁）+x₁
當m=-2時，函數f(x)=

1

2

x2+2lnx-3x．
考查函數h(x)=f(x)+x=

1

2

x2+2lnx-2x
∵h′(x)=x+

2

x

-2=

x2-2x+2

x

=

(x-1)2+1

x

＞0
∴h（x）在（0，+∞）上是增函數，
對任意0＜x₁＜x₂，h（x₂）＞h（x₁），
所以f（x₂）+x₂＞f（x₁）+x₁，
∴

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1
命題得證

點評：本題考查的知識點是二次函數的性質，函數單調性的判斷與證明，熟練掌握向量法判斷函數單調性和最值的方法步驟是解答的關鍵．