Question

設S_n是等差數列{a_n}的前n項和，且S₅＜S₆=S₇＞S₈，則下列結論一定正確的有

（1）（2）（5）

．
（1）d＜0
（2）a₇=0
（3）S₉＞S₅
（4）a₁＜0
（5）S₆和S₇均為S_n的最大值．

Answer 1

分析：等差數列{a_n}中，由S₅＜S₆=S₇＞S₈，可求得d＜0，a₇=0，a₈＜0，從而對①②③④⑤可作出正確判斷．

解答：解：設等差數列{a_n}的公差為d，∵S₅＜S₆=S₇＞S₈，
∴S₆-S₅=a₆＞0，S₈-S₇=a₈＜0，
即a₆+2d＜0，
∴2d＜-a₆＜0，
∴d＜0，即（1）正確；
又S₆=S₇，
∴S₇-S₆=a₇=0，即（2）正確；
又S₉-S₅=a₆+a₇+a₈+a₉=2（a₇+a₈）=2（0+a₈）=2a₈＜0，
∴S₉＜S₅，故（3）錯誤；
由a₆=a₁+5d＞0，d＜0得：a₁＞-5d＞0，故（4）錯誤；
對于（5），∵等差數列{a_n}的公差為d＜0，首項a₁＞0，
∴S_n=

d

2

n²+（a₁-

d

2

）n為開口向下的拋物線（不連續，一群孤立的點），
又S₅＜S₆=S₇＞S₈，
∴S₆和S₇均為S_n的最大值，即（5）正確．
綜上所述，結論一定正確的有（1）（2）（5）．
故答案為：（1）（2）（5）．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查等差數列的性質，求得得d＜0，a₇=0是關鍵，屬于中檔題．