Question

已知：f（x）=lg（a^x-b^x）（a＞1＞b＞0）．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）在其定義域內的單調性；
（3）若f（x）在（1，+∞）內恒為正，試比較a-b與1的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）由對數的真數大于零得，a^x-b^x＞0，再由a＞1＞b＞0和指數函數的性質，求出不等式解集即函數的定義域；
（2）先在定義域任取兩個自變量，即x₂＞x₁＞0，利用指數函數的性質比較對應真數的大小，再根據y=lgx在定義域上是增函數，得出f（x₂）與f（x₁）的大小，判斷出此函數的單調性；
（3）根據（2）證出的函數單調性，求出此區間內的函數的最小值f（1），只要f（1）≥0成立即可，代入函數解析式，利用lg1=0判斷a-b與1的大小．
解答：解：（1）要使函數有意義，則a^x-b^x＞0，∴，
∵，∴x＞0，∴f（x）的定義域為（0，+∞）．
（2）設x₂＞x₁＞0，∵a＞1＞b＞0，
∴，，則，
∴，∴．
∵函數y=lgx在定義域上是增函數，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）是增函數．
（3）由（2）知，函數f（x）在（0，+∞）是增函數，
∴f（x）在（1，+∞）是增函數，即有f（x）＞f（1），
要使f（x）＞0恒成立，必須函數的最小值f（1）≥0，
即lg（a-b）≥0=lg1，則a-b≥1．
點評：本題是關于對數型復合函數的綜合題，根據真數大于零求函數的定義域，判斷函數的單調性即比較真數的大小，對于恒成立問題，就是由函數的單調性求出在區間上的最值．