Question

（2012•房山區二模）已知f（x）是定義在R上的偶函數，當x＞0時，

xf′(x)-f(x)

x2

＞0，且f（-2）=0，則不等式

f(x)

x

＞0的解集是（　　）

A．（-2，0）∪（0，2）

B．（-∞，-2）∪（2，+∞）

C．（-2，0）∪（2，+∞）

D．（-∞，-2）∪（0，2）

Answer 1

分析：f（x）是定義在R上的偶函數，說明

f(x)

x

奇函數，若x＞0時，

xf′(x)-f(x)

x2

＞0，可得

f(x)

x

為增函數，若x＜0，

f(x)

x

為增函數，根據f（-2）=f（2）=0，求出不等式的解集；

解答：解：∵f（x）是定義在R上的偶函數，當x＞0時，

xf′(x)-f(x)

x2

＞0，
∴

f(x)

x

為增函數，f（x）為偶函數，

f(x)

x

為奇函數，
∴

f(x)

x

在（-∞，0）上為增函數，
∵f（-2）=f（2）=0，
若x＞0，

f(2)

2

=0，所以x＞2；
若x＜0，

f(-2)

-2

=0，

f(x)

x

在（-∞，0）上為增函數，可得-2＜x＜0，
綜上得，不等式

f(x)

x

＞0的解集是（-2，0）∪（2，+∞）
故選C；

點評：此題主要考查函數的單調性與奇偶性的綜合題，解題的關鍵是找函數的零點問題，此題是一道基礎題；