Question

已知函數f(x)=ax²+a²x+2b-a³,當x∈(-2,6)時，其值為正，而當x∈(-∞,-2)∪(6,+∞）時，其值為負.
（1）求實數a,b的值及函數f(x)的表達式；
（2）設F（x）=-f(x)+4(k+1)x+2(6k-1),問k取何值時，函數F（x）的值恒為負值？

Answer 1

（1）f(x)=-4x²+16x+48 (2) k＜-2

(1)由題意可知-2和6是方程f(x)=0的兩根，
∴,∴,
∴f(x)=-4x²+16x+48.
(2)F(x)=-(-4x²+16x+48)+4(k+1)x+2(6k-1)
=kx²+4x-2.
當k=0時，F(x)=4x-2不恒為負值；當k≠0時，若F(x)的值恒為負值，
則有,解得k＜-2.