Question

數(shù)列的前項(xiàng)組成集合，從集合中任取個數(shù)，其所有可能的個數(shù)的乘積的和為（若只取一個數(shù)，規(guī)定乘積為此數(shù)本身），記．例如：當(dāng)時，，，；當(dāng)時，，，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）猜想，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）63； （Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）通過列舉進(jìn)行計(jì)算；（Ⅱ）先從特殊入手，

當(dāng)時，，，；

當(dāng)時，，，，所以；

從特殊到一般探求與之間的遞推關(guān)系，從而便于用數(shù)學(xué)歸納法證明.

試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時，，，，所以；

（Ⅱ）由，，

猜想，下面證明：

（1）易知時成立；

（2）假設(shè)時，

則時，

（其中，為時可能的個數(shù)的乘積的和為），

即時也成立，

綜合（1）（2）知對，成立．

所以．

考點(diǎn)：歸納推理、數(shù)學(xué)歸納法.