Question

（文科）設A、B分別是直線y=

2 5

5

x和y=-

2 5

5

x上的兩個動點，并且|

AB

|=

20

，滿足

OP

=

OA

+

OB

．（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）若點D的坐標為（0，16），M、N是曲線C上的兩個動點，且

DM

=λ

DN

（λ≠1），求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設動點P（x，y），再由題意設出A、B的坐標，根據

OP

=

OA

+

OB

列出坐標之間的關系，再由|

AB

|=

20

和向量模的公式，列出關于x和y的關系式，化簡后得到所求的軌跡方程；
（2）設N（s，t），M（x，y），由

DM

=λ

DN

和D的坐標列出方程組，用s和t來表示x和y，再代入曲線方程消去s，求出t有關λ的表達式，再由|t|≤4求出λ的不等式．

解答：解：（1）設P（x，y），
由題可令A(x1，

2 5

5

x1)，B(x2，-

2 5

5

x2)，
∵

OP

=

OA

+

OB

，
∴

x=x1+x2 y= 2 5 5 (x1-x2).

即

x1+x2=x x1-x2= 5 2 y.

又∵|

AB

|=

20

，
∴(x1-x2)2+

4

5

(x1+x2)2=20，即有

5

4

y2+

4

5

x2=20．
∴軌跡C的方程為

x2

25

+

y2

16

=1
（2）設N（s，t），M（x，y），
則由

DM

=λ

DN

可得，（x，y-16）=λ（s，t-16），故x=λs，y=16+λ（t-16），
∵N、M在曲線C上，
∴

s2 25 + t2 16 =1 λ2s2 25 + (λt-16λ+16)2 16 =1

消去s得，

λ2(16-t2)

16

+

(λt-16λ+16)2

16

=1．
∵λ≠0且λ≠1，
∴t=

17λ-15

2λ

又∵|t|≤4，
∴|

17λ-15

2λ

|≤4，解得

3

5

≤λ≤

5

3

（λ≠1）
故實數λ的取值范圍為

3

5

≤λ≤

5

3

（λ≠1）．

點評：本題主要考查了求軌跡方程和橢圓性質的綜合應用．解題的前提是要求學生對基礎知識有相當熟練的把握．