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數列{an}的各項均為正數，Sn為其前n項和，對于任意n∈N*，總有2Sn=an2+an．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設正數數列{cn}滿足an+1=（cn）n+1，（n∈N*），求數列{cn}中的最大項；
分析：（1）由已知可得2Sn-1=an-1+an-12（n≥2從而導出an+an-1=（an+an-1）（an-an-1）∵an，an-1均為正數，所以an-an-1=1（n≥2），由此推出an=n．
（2）由題設條件易得c1＜c2，c2＞c3＞c4＞猜想n≥2時，{cn}是遞減數列．令f(x)=
lnx
x
，則f′(x)=
1
x
•x-lnx
x2
=
1-lnx
x2
，能夠推出在[3，+∞）內f（x）為單調遞減函數．由an+1=cnn+1知lncn=
ln(n+1)
n+1
．由此能夠推出數列{cn}中的最大項為c2=
33
．
解答：解：（1）由已知：對于n∈N*，總有2Sn=an+an2①成立
∴2Sn-1=an-1+an-12（n≥2）②
①②得2an=an+an2-an-1-an-12
∴an+an-1=（an+an-1）（an-an-1）∵an，an-1均為正數，
∴an-an-1=1（n≥2）
∴數列{an}是公差為1的等差數列又n=1時，2S1=a1+a12，解得a1=1．
∴an=n．
（2）解：由已知a2=c12=2?c1=
2
，a3=c23=3?c2=
33
，a4=c34=4?c3=
44
=
2
，
a5=c45=5?c4=
55

易得c1＜c2，c2＞c3＞c4＞猜想n≥2時，{cn}是遞減數列．
令f(x)=
lnx
x
，則f′(x)=
1
x
•x-lnx
x2
=
1-lnx
x2

∵當x≥3時，lnx＞1，則1-lnx＜0，即f'（x）＜0．
∴在[3，+∞）內f（x）為單調遞減函數．
由an+1=cnn+1知lncn=
ln(n+1)
n+1
．
∴n≥2時，{lncn}是遞減數列．即{cn}是遞減數列．
又c1＜c2，∴數列{cn}中的最大項為c2=
33
．
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，注意計算能力的培養．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設數列{an}的各項均為正數，它的前n項和為Sn（n∈N*），已知點（an，4Sn）在函數f （x）=x2+2x+1的圖象上．
（1）證明{an}是等差數列，并求an；
（2）設m、k、p∈N*，m+p=2k，求證：
1
Sm
+
1
Sp
≥
2
Sk
；
（3）對于（2）中的命題，對一般的各項均為正數的等差數列還成立嗎？如果成立，請證明你的結論，如果不成立，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

數列{an}的各項均為正數，Sn為其前n項和，對于任意n∈N*，總有an、Sn、（an）2成等差數列．
（I）求數列{an}的通項公式；
（II）設bn=an(
1
2
)n，數列{bn}的前n項和是Tn，求證：
1
2
≤Tn＜2．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若數列{an}的前n項和為Sn，則下列命題：
（1）若數列{an}是遞增數列，則數列{Sn}也是遞增數列；
（2）數列{Sn}是遞增數列的充要條件是數列{an}的各項均為正數；
（3）若{an}是等差數列（公差d≠0），則S1•S2…Sk=0的充要條件是a1•a2…ak=0．
（4）若{an}是等比數列，則S1•S2…Sk=0（k≥2，k∈N）的充要條件是an+an+1=0．
其中，正確命題的個數是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•奉賢區二模）數列{an} 的各項均為正數，a1=p，p＞0，k∈N*，an+an+k=f（p，k）•pn．
（1）當k=1，f（p，k）=p+k，p=5時，求a2，a3；
（2）若數列{an}成等比數列，請寫出f（p，k）滿足的一個條件，并寫出相應的通項公式（不必證明）；
（3）當k=1，f（p，k）=p+k時，設Tn=a1+2a2+3a3+…+2an+an+1，求Tn．

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