Question

設關于x的函數f（x）=sin²x-2acosx-1
（1）求函數f（x）的最大值g（a）；
（2）試確定滿足g（a）=

1

2

的a，并對此時的a值求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）先根據同角三角函數的基本關系進行化簡，然后轉化為關于cosx的一元二次函數，再根據一元二次函數的性質與cosx的范圍確定函數f（x）的最大值g（a）．
（2）根據（1）中的g（a）的解析式確定f（a）=

1

2

的a的范圍，進而求出a的值，最后將a的值代入到函數f（x）中即可根據cosx的范圍和一元二次函數的性質可求出其最大值．

解答：解：（1）f（x）=sin²x-2acosx-1=-cos²x-2acosx=-（cosx+a）²+a²，
當-1≤a≤1時，g（a）=a²；
當-a＜-1即a＞1時，g（a）=-（-1+a）²+a²=2a-1；
當-a＞1即a＜-1時，g（a）=-（1+a）²+a²=-2a-1
故 g（a）=

-2a-1    a∈(-∞，-1) a2         a∈[-1，1] 2a-1      a∈(1，+∞)

（2）∵g（a）=

1

2

，
∴當a＜-1時，g（a）=-2a-1=

1

2

，得a=-

3

4

（舍去），
當a＞1時，g（a）=2a-1=

1

2

，解得a=

3

4

（舍去），
當-1≤a≤1時，g（a）=a²=

1

2

，
解得a=

2

2

或-

2

2

，
故a=±

2

2

，
此時f（x）=-（cosx+

2

2

）²+

1

2

或f（x）=-（cosx-

2

2

）²+

1

2

當cosx=

2

2

或cosx=-

2

2

時f（x）有最大值

1

2

，
綜上所述，a=±

2

2

時，f（x）最大值為

1

2

．

點評：本題主要考查同角三角函數的基本關系和一元二次函數的基本性質．考查基礎知識的綜合應用和靈活運用．