Question

已知關于x的方程x²+3x-m=0的兩個實數根的平方和等于11．求證：關于x的方程（k-3）x²+kmx-m²+6m-4=0有實數根．

Answer 1

分析：由題意設方程兩根為x₁，x₂，得x₁+x₂=-3，x₁•x₂=-m，然后再根據兩實根的平方和等于11，從而解出m值，代入后面關于x的方程，根據判別式得到結論．

解答：解：設方程兩根為x₁，x₂，得x₁+x₂=-3，x₁•x₂=-m，
∵兩個實數根的平方和等于11，
∴x₁²+x₂²=（-3）²-2（-m）=11
∴m=1
∴方程（k-3）x²+kmx-m²+6m-4=0為方程（k-3）x²+kx-1+6-4=0．
即（k-3）x²+kx+1=0．
當k=3時，方程為3x+1=0，有實根；
當k≠3時，△=k²-4k+12=（k-2）²+8＞0也有實根．
綜上可知關于x的方程（k-3）x²+kmx-m²+6m-4=0有實數根．

點評：此題應用一元二次方程根與系數的關系解題，利用兩根的和與兩根的積表示兩根的平方和，把求未知系數的問題轉化為解方程的問題，本題解題的關鍵是對于二次項系數的討論不要忽略．