Question

函數f（x）的定義域為R，數列{a_n}滿足a_n=f（a_n﹣1）（n∈N*且n≥2）．
（Ⅰ）若數列{a_n}是等差數列，a₁≠a₂，且f（a_n）﹣f（a_n﹣1）=k（a_n﹣a_n﹣1）（k為非零常數，n∈N*且n≥2），求k的值；
（Ⅱ）若f（x）=kx（k＞1），a₁=2，，數列{b_n}的前n項和為S_n，對于給定的正整數m，如果的值與n無關，求k的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）當n≥2時，
因為a_n=f（a_n﹣1），f（a_n）﹣f（a_n﹣1）=k（a_n﹣a_n﹣1），
所以a _n+1﹣a_n=f（a_n）﹣f（a_n﹣1）=k（a_n﹣a_n﹣1）．
因為數列{a_n}是等差數列，所以a_n+1﹣a_n=a_n﹣a_n﹣1．
因為 a_n+1﹣a_n=k（a_n﹣a_n﹣1），所以k=1．
（Ⅱ）因為f（x）=kx，（k＞1），a₁=2，且a _n+1=f（a_n），
所以a _n+1=ka_n．
所以數列{a_n}是首項為2，公比為k的等比數列，
所以．
所以b_n=lna_n=ln2+（n﹣1）lnk．
因為b_n﹣b_n﹣1=lnk，
所以{b_n}是首項為ln2，公差為lnk的等差數列．
所以 S_n==n[ln2+]．
因為
=，
又因為的值是一個與n無關的量，
所以=，解得k=4．