Question

（2012•梅州二模）己知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，不等式

|x|

a

+

|y|

b

≤1所表示的平面區域的面積為16

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C上是否存在兩個不同的點P，Q，使P，Q關于直線y=4x+m對稱？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，可得a=

2

b；利用不等式

|x|

a

+

|y|

b

≤1所表示的平面區域的面積為16

2

，可得4×

1

2

ab=16

2

，從而可得橢圓C的方程；
（2）假設P，Q存在，設出點的坐標，利用點差法可得PQ的中點M的坐標，根據M在橢圓內，建立不等式，即可求得m的取值范圍．

解答：解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，∴

a2-b2

a

=

2

2

，∴a=

2

b①
根據對稱性知，不等式

|x|

a

+

|y|

b

≤1所表示的平面區域是橢圓C的四個頂點為頂點的菱形，可得4×

1

2

ab=16

2

②
由①②可得a=4，b=2

2

∴橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

8

=1；
（2）假設P，Q存在，設P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），PQ的中點M（x₀，y₀），則

x12 16 + y12 8 =1 x22 16 + y22 8 =1

兩式相減可得

x22-x12

16

+

y22-y12

8

=1
∴

y2-y1

x2-x1

=-

8

16

×

x1+x2

y1+y2

=-

1

2

×

x0

y0

=-

1

4

∴y₀=2x₀
∵y₀=4x₀+m，∴x0=-

m

2

，y₀=-m
∵M在橢圓內，∴

x02

16

+

y02

8

＜1
∴

(- m 2 )2

16

+

m2

8

＜1
∴m2＜

64

9

∴-

8

3

＜m＜

8

3

∴m的取值范圍是(-

8

3

，

8

3

)．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的對稱性，考查點差法的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．