Question

給出下列命題：
①若橢圓

x2

25

+

y2

16

=1的左右焦點分別為F₁、F₂，動點P滿足|PF₁|+|PF₂|＞6，則動點P不一定在該橢圓外部；
②以拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為圓心，以

p

2

為半徑的圓與該拋物線必有3個不同的公共點；
③雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y2=1有相同的焦點；
④拋物線y²=4x上動點P到其焦點的距離的最小值≥1．
其中真命題的序號為

①③④

．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：①利用橢圓的定義，可得橢圓上的點P′滿足|P′F₁|+|P′F₂|=10，故可判斷；
②以拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為圓心，以

p

2

為半徑的圓的方程為(x-

p

2

)2+y2=

p2

4

，與拋物線y²=2px聯立，即可求得交點的個數；
③分別求出雙曲線、橢圓的焦點坐標，即可判斷；
④求出拋物線y²=4x上動點P到其焦點的距離的最小值，即可得結論．

解答：解：①橢圓

x2

25

+

y2

16

=1的左右焦點分別為F₁、F₂，∴橢圓上的點P′滿足|P′F₁|+|P′F₂|=10，∴動點P滿足|PF₁|+|PF₂|＞6，則動點P不一定在該橢圓外部，故①為真命題；
②以拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為圓心，以

p

2

為半徑的圓的方程為(x-

p

2

)2+y2=

p2

4

，將拋物線y²=2px代入，并化簡可得：x²+px=0，∵x≥0，p＞0，∴x=0，∴以拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為圓心，以

p

2

為半徑的圓與該拋物線有1個公共點，故②為假命題；
③雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1的焦點為（±

34

，0），橢圓

x2

35

+y2=1的焦點為（±

34

，0），因此雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y2=1有相同的焦點，故③為真命題；
④設拋物線y²=4x上動點P（x，y），則P到其焦點的距離為

(x-1)2+y2

=

(x-1)2+4x

=

(x+1)2

∵x≥0，∴P到其焦點的距離為x+1，∴x+1≥1，∴拋物線y²=4x上動點P到其焦點的距離的最小值≥1，故④為真命題
故真命題為①③④
故答案為：①③④

點評：本題重點考查圓錐曲線的性質，考查圓錐曲線的綜合，解題時，需要利用性質一一進行判斷．