Question

已知函數f(x)=e^x+2x²—3x
(1)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；
(2) 當x ≥1時，若關于x的不等式f(x)≥ax恒成立，求實數a的取值范圍；
(3)求證函數f(x)在區間[0，1)上存在唯一的極值點，并用二分法求函數取得極值時相應x的近似值(誤差不超過0.2)；(參考數據e≈2.7，≈1．6，e^0.3≈1．3)。

Answer 1

（1）(e+1)x-y-2=0
（2）a≤e-1
（3）x≈0.45

(1)f'(x)=e^x+4x-3，則=e+1，
又f(1)=e—1，
∴曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為
y-e+1=(e+1)(x-1)，即：(e+1)x-y-2=0
(2)由f(x)≥ax，得ax≤e^x+2 x²-3x，
∵x≥1 ，∴a≤
令g(x)= ，則g’(x)=
∵x≥1 ，∴g’(x)>0，∴g(x)在[1，+∞）上是增函數，
∴g(x)min=g(1)=e-1,
∴a的取值范圍是a≤e-1，
（3）∵f'(0)=e⁰-3=-2<0,f'(1)=e+1>0，   ∴f'(0)·f'(1)<0
令h(x)=f'(x)=e^x+4x-3，
則h'(x)=e^x+4>0，f'(x)在正[0，1]上單調遞增，
∴．f'(x)在[0，1]上存在唯一零點，f(x)在[0，1]上存在唯一的極值點．
取區間[0，1]作為起始區間，用二分法逐次計算可知區間[0.3,0.6]的長度為0.3,所以該區間的中點x2=0.45，到區間端點的距離小于0.2，因此可作為誤差不超過0.2一個極值點的相應x的值
∴函數y=f(x)取得極值時，相應x≈0.45.