Question

函數y=log

1

2

(sinxcosx)為增函數的區間是

（kπ，kπ+

π

4

]，k∈z

．

Answer 1

分析：令t=sinxcosx=

1

2

sin2x＞0，可得 y=log

1

2

t，本題即求函數t在滿足t＞0時的單調增區間．令2kπ＜2x≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得所求．

解答：解：令t=sinxcosx=

1

2

sin2x＞0，可得 y=log

1

2

t，且2kπ＜2x＜2kπ+π，k∈z．
解得 kπ＜x＜kπ+

π

2

，故函數y的定義域為（kπ，kπ+

π

2

 ）．
根據復合函數的單調性可得，本題即求函數t在（kπ，kπ+

π

2

 ）上的單調增區間．
令2kπ＜2x≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得kπ＜x≤kπ+

π

4

，
故函數t在（kπ，kπ+

π

2

 ）上的單調增區間為（kπ，kπ+

π

4

]，k∈z．
故答案為 （kπ，kπ+

π

4

]，k∈z．

點評：本題主要考查復合函數的單調性、正弦函數的圖象和性質，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．