Question

設(shè)M是滿足下列條件的函數(shù)f(x)構(gòu)成的集合：“①方程f(x)－x＝0有實(shí)數(shù)根；②函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)滿足0<f′(x)<1.”

(1)若函數(shù)f(x)為集合M中的任一元素，試證明方程f(x)－x＝0只有一個(gè)實(shí)根；

(2)判斷函數(shù)g(x)＝－＋3(x>1)是否是集合M中的元素，并說(shuō)明理由；

(3)“對(duì)于(2)中函數(shù)g(x)定義域內(nèi)的任一區(qū)間[m，n]，都存在x₀∈[m，n]，使得g(n)－g(m)＝(n－m)g′(x₀)”，請(qǐng)利用函數(shù)y＝lnx的圖像說(shuō)明這一結(jié)論．

Answer 1

解析　(1)令h(x)＝f(x)－x，則h′(x)＝f′(x)－1<0，

即h(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞減．

所以，使h(x)＝0，即f(x)－x＝0成立的x至多有一解．

又由題設(shè)①知方程f(x)－x＝0有實(shí)數(shù)根，

所以，方程f(x)－x＝0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根．

(2)由題意知，g′(x)＝－∈⊂(0,1)，滿足條件．

令F(x)＝g(x)－x＝－－＋3(x>1)，

則F(e)＝－＋>0，F(xiàn)(e²)＝－＋2<0.

又F(x)在區(qū)間[e，e²]上連續(xù)，所以F(x)在[e，e²]上存在零點(diǎn)x₀，即方程g(x)－x＝0有實(shí)數(shù)根x₀∈[e，e²]，故g(x)滿足條件①.

綜上可知，g(x)∈M.

(3)由(1)知：g(n)－g(m)＝(n－m)－(lnn－lnm)，

而(n－m)g′(x₀)＝(n－m)(－)，

所以原式等價(jià)于＝.

該等式說(shuō)明函數(shù)y＝lnx(x>1)上任意兩點(diǎn)A(m，lnm)和B(n，lnn)的連線段AB(如圖所示)，在曲線y＝lnx(m≤x≤n)上都一定存在一點(diǎn)P(x₀，lnx₀)，使得該點(diǎn)處的切線平行于AB，根據(jù)y＝lnx(x>1)圖像知該等式一定成立．