Question

（2012•湖北模擬）函數f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，其中a為正常數，且函數y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與坐標軸的交點處的切線互相平行．
（1）求a的值；
（2）若存在x使不等式

x-m

f(x)

＞

x

成立，求實數m的取值范圍；
（3）對于函數y=f（x）和y=g（x）公共定義域中的任意實數x₀，我們把|f（x₀）-g（x₀）|的值稱為兩函數在x₀處的偏差．求證：函數y=f（x）和y=g（x）在其公共定義域內的所有偏差都大于2．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，我們可以求出函數y=f（x）的圖象與Y軸的交點和y=g（x）的圖象與X軸交點的坐標，求出兩個函數的導函數后，根據函數y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與坐標軸的交點處的切線互相平行，即兩函數在交點處的導數值相等，構造關于a的方程，解方程即可求出答案．
（2）由（1）中結論，我們可將不等式

x-m

f(x)

＞

x

化為m＜x-ex

x

，若存在x使不等式

x-m

f(x)

＞

x

成立，則m小于x-ex

x

在[0，+∞）上的最大值，構造函數h（x）=x-ex

x

，并求出其在[0，+∞）上的最大值，即可得到答案．
（3）構造函數h（x）=e^x-lnx，并根據導數當分析函數的單調性，然后分x≥1時和0＜x＜1時，兩種情況分別確定函數在x₀處的偏差的取值范圍，即可得到答案．

解答：解：（1）∵f（x）=ae^x，
∴f′（x）=ae^x，
函數f（x）=ae^x只于Y軸交于（0，a）
且f′（0）=a
又∵g（x）=lnx-lna，
∴g′（x）=

1

x

，
又∵函數g（x）=lnx-lna只于X軸交于（a，0）點
∴g′（a）=

1

a

又∵函數y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與坐標軸的交點處的切線互相平行
∴a=1
(2)分離m后得m＜x-ex

x

在[0，+∞)上有解，
∴m＜(x-ex

x

)max
構造函數h(x)=x-ex

x

(x∈[0，+∞))
則h，(x)=1-ex(

x

+

1

2 x

)
∵x∈（0，+∞）時，e^x＞1

x

+

1

2 x

≥2

x • 1 2 x

=

2

∴h，（x）＜0，h（x）在[0，+∞）上單調遞減
∴h（x）_max=h（0）=0
∴m＜0
（3）設h（x）=e^x-lnx，h′(x)=ex-

1

x

（i）當x≥1時，h'（x）＞0，有h（x）≥h（1）=e＞2
（ii）當0＜x＜1時，設ex0=

1

x0

，則x₀+lnx₀=0[
此時h(x)≥h(x0)=ex0-lnx0=

1

x0

+x0＞2
所以綜上有函數y=f（x）和y=g（x）在其公共定義域內的所有偏差都大于2．

點評：本題考查的知識點是函數與方程的綜合應用，直線平行與斜率的關系，導數法求直線的斜率，函數恒成立問題，其中（1）的關鍵是根據函數y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與坐標軸的交點處的切線互相平行，確定出兩函數在與坐標軸交點處導數值相等；（2）的關鍵是根據函數恒成立條件將問題轉化為求函數的最值，（3）的關鍵是構造函數h（x）=e^x-lnx，并根據導數當分析函數的單調性，進行確定分類標準．