Question

函數f（x）=ax³+bx²+cx的圖象如圖所示，且f（x）在x=x₀與x=-1處取得極值，給出下列判斷：
①f（1）+f（-1）=0；②f（-2）＞0；③函數y=f'（x）在區間（-∞，0）上是增函數．其中正確的判斷是

 

．（寫出所有正確判斷的序號）

Answer 1

分析：先根據題意可得f′（x）=3ax²+2bx+c=3a（x+1）（x-x₀）且a＜0，然后求出f（1）+f（-1），f（-2）判定符號即可，最后根據f′（x）是開口向下，對稱軸為x=

x0-1

6a

＞0的二次函數，可得函數在區間（-∞，0）上的單調性．

解答：解：∵函數f（x）=ax³+bx²+cx的圖象如圖所示，且f（x）
在x=x₀與x=-1處取得極值
∴f′（x）=3ax²+2bx+c=3a（x+1）（x-x₀），a＜0
則2b=3a（1-x₀），c=-3ax₀
∴f（1）+f（-1）=2b=3a（1-x₀）＞0故①不正確
f（-2）=-8a+4b-2c=-8a+6a=-2a＞0，故②正確
f′（x）=3ax²+2bx+c=3a（x+1）（x-x₀）是開口向下，對稱軸為x=

x0-1

6a

＞0
∴函數y=f'（x）在區間（-∞，0）上是增函數，故③正確
故答案為：②③

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值和二次函數的性質，以及研究函數的單調性，同時考查了識圖能力，運算分析能力，屬于中檔題．