Question

如圖四棱錐P－ABCD的底面為正方形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，PC與平面ABCD成45°角，E、F分別為PA、PB的中點．

(1)求異面直線DE與AF所成角的大小；

(2)設M是PC上的動點，試問當M在何處時，才能使AM⊥平面PBD，證明你的結論．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)如圖，建立空間直角坐標系，則A(0，0，0)，F(1，0，)，D(0，2，0)，E(0，0，)；(1，0，)，(0，－2，)． 　　設與的夾角為θ， 　　則cos＝＝＝， 　　∴DE與AF所成的角為arccos． 　　(2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD． 　　又ABCD是正方形，∴BD⊥AC，BD⊥平面PAC，∴BD⊥AM． 　　由題意可設M點坐標為(t，t，2(2－)， 　　∴又P(0，0，2)，B(2，0，0)，＝(2，0，－2)． 　　設AM⊥PB，∴·＝0，即2t－2×(2－t)＝0． 　　∴t＝，∴||＝，又||＝4， 　　∴M在＝2這位置于，AM⊥平面PBD． 　　法二：(1)連CF、EF取CD的中點G，連EG、AG，由題意EF⊥AB，則EF⊥DG， 　　∴四邊形EDGF為平行四邊形，∴FG⊥ED． 　　∴∠AFG即DE和AF所成的角(或其補角)． 　　又PC與底面所成角45°，∴PA＝AC＝2，∴ED＝＝FG，AF＝，AG＝． 　　∴cos∠AFG＝＝，∴DE與AF所成的角為arccos． 　　∴連AC交BD于O，AC⊥BD，PA⊥BD． 　　∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥BD． 　　欲使AM⊥平面PDB，則只需AM⊥PO即可． 　　在Rt△PAC中，(如圖)過C作CH∥PA交AM處長線于H， 　　又，∴M在＝2這位置于，AM⊥平面PBD．

提示：

分析：(1)．求異面直線所成角一般通過直線平移，或用空間向量． 　　(2)探究性問題考慮當AM⊥平面PBD，M點特點和性質． 　　說明：本題體現高考立體幾何解答題考查的三個熱點問題：一是用空間向理求線線角問題；二是線線、線面平行與垂直問題；三是探究性問題．