Question

已知圓C過點O（0，0），A（1，3），B（4，0）．
（1）求圓C的方程；
（2）若直線x+2y+m=0與圓C相交于M、N兩點，且∠MON=60°，求m的值．

Answer 1

解：（1）設圓C的方程為 x²+y²+dx+ey+f=0，則由題意可得 ，解得 ，
∴圓C的方程為 為 x²+y²-4x-2y=0．
（2）∵∠MON=60°，點O在圓C上，∴∠MCN=120°，且點C在直線MN的下方，在等腰三角形MCN中，
可得點C到直線MN的距離等于，即 ，解得 m=-，m=-．
經檢驗可得，m=-不滿足題意，舍去．
故只有 m=-．
分析：（1）設圓C的方程為 x²+y²+dx+ey+f=0，則由題意可得 ，解得a、b、c的值，
即可求得圓的方程．
（2）由題意可得，點C在直線MN的下方，在等腰三角形MCN中，可得點C到直線MN的距離等于，即 ，由此解得m的值．
點評：本題主要考查利用待定系數法求圓的方程，直線和圓相交的性質，點到直線的距離公式，屬于中檔題．