Question

（2012•廣州二模）已知數列{a_n}的前n項和為S_n，對任意n∈N^*，都有a_n＞0且Sn=

(an-1)(an+2)

2

，令bn=

lnan+1

lnan

．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）使乘積b₁•b₂…b_k為整數的k（k∈N^*）叫“龍數”，求區間[1，2012]內的所有“龍數”之和；
（3）判斷b_n與b_n+1的大小關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）Sn=

(an-1)(an+2)

2

=

an2+an-2

2

，當n=1時，a1=S1=

a12+a1-2

2

，即a12-a1-2=0，解得a₁=2，或a₁=-1，由a_n＞0，知a₁=2．當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

an2+an-2

2

-

an-12+an-1-2

2

，化簡，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，由a_n＞0，知a_n-a_n-1=1，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由bn=

lnan+1

lnan

=

ln(n+2)

ln(n+1)

，知b₁•b₂…b_k=

ln3

ln2

×

ln4

ln3

×…×

ln(k+2)

ln(k+1)

=

ln(k+2)

ln2

=log₂（k+2），令log₂（k+2）=m，則k=2^m-2，m∈Z，由1≤2^m-2≤2012，得3≤2^m≤2014，故m=2，3，4，5，…，10．由此能求出區間[1，2012]內的所有“龍數”之和．
（3）由bn=

ln(n+2)

ln(n+1)

＞

ln(n+1)

ln(n+1)

=1，知

bn+1

bn

=

ln(n+3) ln(n+2)

ln(n+2) ln(n+1)

=

ln(n+3)•ln(n+1)

[ln(n+2)]2

＜

[ ln(n+3)+ln(n+1) 2 ]2

[ln(n+2)]2

＜1，故b_n＞b_n+1．

解答：解：（1）∵Sn=

(an-1)(an+2)

2

=

an2+an-2

2

，
當n=1時，a1=S1=

a12+a1-2

2

，即a12-a1-2=0，
解得a₁=2，或a₁=-1，
∵a_n＞0，∴a₁=2．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

an2+an-2

2

-

an-12+an-1-2

2

，
化簡，得an2-an-12-an-an-1=0，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1，
∴{a_n}是首項為2，公差為1的等差數列，
∴a_n=2+（n-1）=n+1．
（2）∵bn=

lnan+1

lnan

=

ln(n+2)

ln(n+1)

，
∴b₁•b₂…b_k=

ln3

ln2

×

ln4

ln3

×…×

ln(k+2)

ln(k+1)

=

ln(k+2)

ln2

=log₂（k+2），
令log₂（k+2）=m，則k=2^m-2，m∈Z，
由1≤2^m-2≤2012，得3≤2^m≤2014，
∴m=2，3，4，5，…，10．
∴在區間[1，2012]內，k的值為2²-2，2³-2，…，2¹⁰-2，
其和為：（2²-2）+（2³-2）+…+（2¹⁰-2）
=（2²+2³+…+2¹⁰）-2×9
=

22(1-29)

1-2

-18=2026．
（3）∵bn=

ln(n+2)

ln(n+1)

＞

ln(n+1)

ln(n+1)

=1，
∴

bn+1

bn

=

ln(n+3) ln(n+2)

ln(n+2) ln(n+1)

=

ln(n+3)•ln(n+1)

[ln(n+2)]2

＜

[ ln(n+3)+ln(n+1) 2 ]2

[ln(n+2)]2

=

[ln(n+3)(n+1)]2

4[ln(n+2)]2

＜

[ln( n+3+n+1 2 )2]2

4[ln(n+2)]2

=1，
∴b_n＞b_n+1．

點評：本題考查數列、不等式知識，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想，培養學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創新意識．