Question

設函數f(x)=ax+bx+1（a,b為實數）,F(x)=

（1）若f(-1)=0且對任意實數x均有f(x)成立，求F(x)表達式。

（2）在（1）的條件下,當x時,g(x)=f(x)-kx是單調函數,求實數k的取值范圍。

（3）（理）設m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)為偶函數，求證：F(m)+F(n)>0。

Answer 1

（1）F(x)=（2）k-2或k6（3）見解析

解析:

（1）f(-1)=0 ∴由f(x)0恒成立 知△=b-4a=(a+1)-4a=(a-1)0

∴a=1從而f(x)=x+2x+1  ∴F(x)= ，

（2）由（1）可知f(x)=x+2x+1 ∴g(x)=f(x)-kx=x+(2-k)x+1，由于g(x)在上是單調函數,知-或-，得k-2或k6 ，

（3）f(x)是偶函數，∴f(x)=f(x)，而a>0∴在上為增函數

對于F(x)，當x>0時-x<0，F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x)，當x<0時-x>0，F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x)，

∴F(x)是奇函數且F(x)在上為增函數，

m>0,n<0，由m>-n>0知F(m)>F(-n)∴F(m)>-F(n)

∴F(m)+F(n)>0 。