Question

已知函數f（x）=x²+bx+c，且f（1）=0．
（1）若f（0）=-1，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，求函數f（x）在[-1，3]上的最大、最小值；
（3）要使函數f（x）在[-1，3]上是單調函數，求b的范圍．

Answer 1

分析：（1）根據f（1）=0和f（0）=-1，列出關于b和c的方程組，求解方程組，即可得到b和c的值，從而求得f（x）的解析式；
（2）根據（1）中的解析式，利用二次函數的單調性，即可求得f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值；
（3）根據二次函數的性質可知，當對稱軸在區間兩側的時候，函數f（x）為單調函數，故可得到-

b

2

≤-1或-

b

2

≥3，求解即可求得b的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=x²+bx+c，且f（1）=0，f（0）=-1，
∴

f(1)=1+b+c=0 f(0)=c=-1

，解得

b=0 c=-1

，
∴f（x）=x²-1；
（2）由（1）可知，f（x）=x²-1，
∵f（x）的對稱軸為x=0，圖象開口向上，
∴函數f（x）=x²-1在[-1，0]上單調遞減，在（0，3]上單調遞增，
∴當x=0時，f（x）取得最小值為f（0）=-1，
又f（-1）=0，f（3）=8，
∴當x=3時，f（x）取得最大值為f（3）=8，
∴函數f（x）在[-1，3]上的最大值為8，最小值為0；
（3）∵f（x）=x²+bx+c，
∴該函數開口向上，對稱軸為x=-

b

2

，
∴函數在（-∞，-

b

2

）上單調遞減，在（-

b

2

，+∞）上單調遞增，
∵函數f（x）在[-1，3]上是單調函數，
∴-

b

2

≤-1或-

b

2

≥3，解得b≤-6或b≥2，
∴b的取值范圍為b≤-6或b≥2．

點評：本題考查了函數解析式的求解及常用方法，函數單調性的性質，二次函數的性質．求函數解析式常見的方法有：待定系數法，換元法，湊配法，消元法等．對于函數單調性的應用，常用來求解函數的最值問題．本題重點考查了二次函數的性質，對于二次函數要注意數形結合的應用，注意抓住二次函數的開口方向，對稱軸，以及判別式的考慮．屬于中檔題．