Question

已知幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．

(Ⅰ)求此幾何體的體積；
(Ⅱ)求異面直線與所成角的余弦值；
(Ⅲ)探究在上是否存在點Q，使得，并說明理由．

Answer 1

(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) 在上存在點Q，使得.

試題分析：（Ⅰ）由該幾何體的三視圖可知垂直于底面，且，
，
，，
此幾何體的體積為；  
解法一：（Ⅱ）過點作交于，連接，則或其補角即為異面直線
與所成角，在中，，，
；即異面直線與所成角的余弦值為. 
（Ⅲ）在上存在點Q，使得；取中點，過點作于點，則點為所求點；
連接、，在和中，
，∽，
，
，，，
，，
，
以為圓心，為直徑的圓與相切，切點為，連接、，可得；
，，，，
，；
解法二：（Ⅰ）同上。
（Ⅱ）以為原點，以、、所在直線為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，得，，
，又異面直線與所成角為銳角，可得異面直線與
所成角的余弦值為。
（Ⅲ）設存在滿足題設的點，其坐標為，
則，，，
，   ①；
點在上，存在使得，
即，化簡得，    ②，
②代入①得，得，；
滿足題設的點存在，其坐標為.
點評：本題考查三視圖與直觀圖的關系，幾何體的體積的求法，判斷三視圖復原的幾何體的
形狀是解題的關鍵，考查計算能力．