Question

已知直線y=a與函數f（x）=x³-3x的圖象有相異的三個交點，求常數a的取值范圍．

Answer 1

解：對函數f（x）=x³-3x求導數，得f'（x）=3x²-3
令f'（x）=0，得x=±1，
∵x＜-1或x＞1時，f'（x）＞0；-1＜x＜1時，f'（x）＞0
∴函數f（x）的增區間為（-∞，-1）和（1，+∞）；減區間為（-1，1）
由此可得函數f（x）的極大值為f（-1）=2，極小值為f（1）=-2
∵直線y=a與函數f（x）=x³-3x的圖象有相異的三個交點，
∴常數a應該大于函數f（x）的極小值且小于函數f（x）的極大值，
即常數a取值范圍是（-2，2）．
分析：利用導數工具研究函數f（x）的單調性，可得函數f（x）的極大值為2，極小值為-2．由此可得若直線y=a與函數f（x）圖象有相異的三個交點，則常數a應該大于函數f（x）的極小值且小于函數f（x）的極大值，即得a的取值范圍．
點評：本題給出直線y=a與三次多項式函數的圖象有3個不同交點，求a的取值范圍，著重考查了利用導數研究函數的單調性和函數的零點與方程根的關系等知識，屬于中檔題．