Question

（文科）已知定點A（0，-1），點M（x，y）在曲線y=x²（0＜x＜3）上運動，過點M作垂直于x軸的直線l，l交直線y=9于點N．
（1）求△AMN面積f （x）；
（2）求f （x）的最大值及此時點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）點M（x，x²），N（x，9），|MN|=9-x²，點A到MN的距離為x，由三角形面積公式可求；
（2）f′（x）=-

3

2

x2+

9

2

，利用導數判斷函數的單調性，根據單調性可求得最大值；

解答：解（1）點M（x，x²），N（x，9），則|MN|=9-x²，點A到MN的距離為x，
從而△AMN的面積f（x）=-

1

2

x3+

9

2

x（0＜x＜3）；
（2）f（x）=-

1

2

x3+

9

2

x（0＜x＜3），f′（x）=-

3

2

x2+

9

2

，
當x∈(0，

3

)時，f′（x）＞0，f（x）遞增，x∈(

3

，3)時，f′（x）＜0，f（x）遞減，
所以，f（x）的最大值為f（

3

）=3

3

，此時點M的坐標為（

3

，3）．

點評：本題考查利用導數求函數的最值、三角形的面積求解，考查學生的理解分析能力．