Question

用數學歸納法證明不等式：

1

n

+

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n2

＞1（n∈N^*且n＞1）．

Answer 1

分析：直接利用數學歸納法的證明步驟證明不等式，（1）驗證n=2時不等式成立；（2）假設當n=k（k≥2）時成立，利用放縮法證明n=k+1時，不等式也成立．

解答：證明：（1）當n=2時，左邊=

1

2

+

1

3

+

1

4

=

13

12

＞1，∴n=2時成立（2分）
（2）假設當n=k（k≥2）時成立，即

1

k

+

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

k2

＞1
那么當n=k+1時，左邊=

1

k+1

+

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

(k+1)2

=

1

k

+

1

k+1

+

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

k2+2k

+

1

(k+1)2

-

1

k

＞1+

1

k2+1

+

1

k2+2

+…+

1

(k+1)2

-

1

k

＞1+(2k+1)•

1

(k+1)2

-

1

k

＞1+

k2-k-1

k2+2k+1

＞1
∴n=k+1時也成立（7分）
根據（1）（2）可得不等式對所有的n＞1都成立（8分）

點評：本題是中檔題，考查數學歸納法的證明步驟，注意不等式的證明方法，放縮法的應用，考查邏輯推理能力．