Question

已知函數，（為常數）

（1）當時恒成立，求實數的取值范圍；

（2）若函數有對稱中心為A（1，0），求證：函數的切線在切點處穿過圖象的充要條件是恰為函數在點A處的切線．（直線穿過曲線是指：直線與曲線有交點，且在交點左右附近曲線在直線異側）

 

Answer 1

【答案】

（1）實數的取值范圍是：；（2）詳見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）由已知條件，構造函數，當時恒成立恒成立．利用導數討論函數的單調性及最值，即可求得實數的取值范圍；（2）由已知，函數關于A（1，0）對稱，則是奇函數，由此可求出的值，進而得的解析式，利用導數的幾何意義，求出函數在點A處的切線，構造函數，，利用導數分別研究函數，的單調性，結合直線穿過曲線定義，證明充分性和必要性．

試題解析：（1）設，．令：，得或．

所以：當，即時，在是增函數，最小值為，滿足；當，即時，在區間為減函數，在區間為增函數．所以最小值，故不合題意．所以實數的取值范圍是：             6分

（2）因為關于A（1，0）對稱，則是奇函數，所以，所以 ，則．若為A點處的切線則其方程為：，令，，所以為增函數，而所以直線穿過函數的圖象．                         9分

若是函數圖象在的切線，則方程：，設，則

，令得：，當時：，，從而處取得極大值，而，則當時，所以圖象在直線的同側，所在不能在穿過函數圖象，所以不合題意，同理可證也不合題意．所以（前面已證）所以即為點．所以原命題成立．                               14分

考點：1．含參數不等式中的參數取值范圍問題；2．導數的幾何意義；3．導數與函數的單調性及最值．