Question

（2012•武漢模擬）如圖，已知橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F₁（-c，0）、F₂（c，0），Q是橢圓外的一個動點，滿足|F₁Q|=2a．點P是線段F₁Q與該橢圓的交點，點M在線段F₂Q上，且滿足

PM

•

MF2

=0，|

MF2

|≠0．
（Ⅰ）求點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設不過原點O的直線l與軌跡C交于A，B兩點，若直線OA，AB，OB的斜率依次成等比數列，求△OAB面積的取值范圍；
（Ⅲ）由（Ⅱ）求解的結果，試對橢圓Γ寫出類似的命題．（只需寫出類似的命題，不必說明理由）

Answer 1

分析：（Ⅰ）設M（x，y）為軌跡C上的任意一點．分類討論，當|

PM

|=0時，點（a，0）和點（-a，0）在軌跡C上，當|

PM

|≠0且|

MF2

|≠0時，由

PM

•

MF2

=0，得

PM

⊥

MF2

，從而可值M為線段F₂Q的中點，進而可求點M的軌跡C的方程；（Ⅱ）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，可設直線l的方程為y=kx+m（m≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+m x2+y2=a2

消去y并整理，利用韋達定理及直線OA，AB，OB的斜率依次成等比數列，可求直線方程，從而可求△OAB面積，進而可得△OAB面積的取值范圍；
（Ⅲ）對橢圓Γ而言，有如下類似的命題：“設不過原點O的直線l與橢圓Γ交于A，B兩點，若直線OA，AB，OB的斜率依次成等比數列，則△OAB面積的取值范圍為（0，

1

2

ab）．”

解答：解：（Ⅰ）設M（x，y）為軌跡C上的任意一點．
當|

PM

|=0時，點（a，0）和點（-a，0）在軌跡C上．
當|

PM

|≠0且|

MF2

|≠0時，由

PM

•

MF2

=0，得

PM

⊥

MF2

．
又|

PQ

|=|

PF2

|（如圖），所以M為線段F₂Q的中點．
在△QF₁F₂中，|

OM

|=

1

2

|F₁Q|=a，所以有x²+y²=a²．
綜上所述，點M的軌跡C的方程是x²+y²=a²．…（4分）
（Ⅱ）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，
故可設直線l的方程為y=kx+m（m≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+m x2+y2=a2

消去y并整理，得
（1+k²）x²+2kmx+m²-a²=0，
則△=4k²m²-4（1+k²）（m²-a²）=4（k²a²+a²-m²）＞0，
且x₁+x₂=

-2km

1+k2

，x₁x₂=

m2-a2

1+k2

．
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²．
∵直線OA，AB，OB的斜率依次成等比數列，
∴

y1

x1

•

y2

x2

=

k2x1x2+km(x1+x2)+m2

x1x2

=k²，
即

-2k2m2

1+k2

+m²=0，又m≠0，
∴k²=1，即k=±1．
設點O到直線l的距離為d，則d=

|m|

k2+1

，
∴S_△OAB=

1

2

|AB|d=

1

2

1+k2

|x₁-x₂|•

|m|

k2+1

=

1

2

|x₁-x₂||m|=

1

2

m2(2a2-m2)

．
由直線OA，OB的斜率存在，且△＞0，得0＜m²＜2a²且m²≠a²，
∴0＜

m2(2a2-m2)

＜

m2+(2a2-m2)

2

=a²．
故△OAB面積的取值范圍為（0，

1

2

a²）．…（10分）
（Ⅲ）對橢圓Γ而言，有如下類似的命題：“設不過原點O的直線l與橢圓Γ交于A，B兩點，若直線OA，AB，OB的斜率依次成等比數列，則△OAB面積的取值范圍為（0，

1

2

ab）．”…（13分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與圓的位置關系，考查求三角形的面積，考查類比思想，解題的關鍵是挖掘隱含條件，正確表示三角形的面積，屬于中檔題．