Question

如圖,在四棱錐P-ABCD中，側面PAD底面ABCD，側棱，底面ABCD為直角梯形，其中BC//AD，ABAD，AD=2，AB=BC=l，E為AD中點．
（1）求證：PE平面ABCD：
（2）求異面直線PB與CD所成角的余弦值：
（3）求平面PAB與平面PCD所成的二面角.

Answer 1

（1）證明：在中，，為中點，.又側面底面，平面平面，平面.平面；（2）；（3）.

試題分析：（1）由題意可根據面面垂直的性質定理來證，已知側面底面，并且相交于，而為等腰直角三角形，為中點，所以，即垂直于兩個垂直平面的交線，且平面，所以平面；（2）連結，由題意可知是異面直線與所成的角，并且三角形是直角三角形，，，，由余弦定理得；（3）利用體積相等法可得解，設點到平面的距離，即由，得， 而在中，，所以，因此，又，，從而可得解.
（1）證明：在中，，為中點，.    2分
又側面底面，平面平面，平面.
平面.      4分
（2）解：連結，在直角梯形中，，，有且.所以四邊形平行四邊形，.由（1）知，為銳角，所以是異面直線與所成的角.    7分
，在中，..在中，
.在中，..
所以異面直線與所成的角的余弦值為.    9分

（3）解：由（2）得.在中，，
，　.
設點到平面的距離，由，得.    11分
又，解得.    13分