Question

已知△ABC是邊長為2的正三角形，P，Q依次是AB，AC邊上的點，且線段PQ將△ABC分成面積相等的兩部分，設AP=x，AQ=t，PQ=y．
（1）求t關于x的函數關系式；
（2）求y的最值，并寫出取得最值得條件．

Answer 1

分析：（1）利用線段PQ將△ABC分成面積相等的兩部分，建立方程，即可求t關于x的函數關系式；
（2）利用余弦定理，確定函數解析式，確定x的范圍，利用基本不等式，即可得出結論．

解答：解：（1）由已知得

1

2

×2×2×sin60°=2×

1

2

×t×x×sin60°，
∴t=

2

x

；
（2）由題意，y=

x2+t2-2xtcos60°

=

x2+t2-xt

=

x2+ 4 x2 -2

，
∵

0＜x≤2 0＜ 2 x ≤2

，
∴1≤x≤2，
∴x2+

4

x2

-2≥4-2=2，
當且僅當x2=

4

x2

，
即x=

2

時等號成立，
∴x=

2

時，y_min=

2

；當x=1或2時，y_max=

3

．

點評：本題考查三角形面積的計算，考查余弦定理的運用，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．