Question

已知函數g(x)＝ax³＋bx²＋cx(a∈R且a≠0)，g(－1)＝0，且g(x)的導函數f(x)滿足f(0)f(1)≤0.設x₁、x₂為方程f(x)＝0的兩根．

(1)求的取值范圍；

(2)若當|x₁－x₂|最小時，g(x)的極大值比極小值大，求g(x)的解析式．

Answer 1

解析　(1)∵g(x)＝ax³＋bx²＋cx，∴g(－1)＝－a＋b－c＝0，即c＝b－a.

又f(x)＝g′(x)＝3ax²＋2bx＋c，由f(0)f(1)≤0，得c(3a＋2b＋c)≤0，即(b－a)(3b＋2a)≤0.

∵a≠0，∴(－1)(3·＋2)≤0，解得－≤≤1.

又∵方程f(x)＝3ax²＋2bx＋c＝0(a≠0)有兩根，∴Δ≥0.

而Δ＝(2b)²－4×3a×c＝4b²－12a(b－a)＝4(b－a)²＋3a²>0恒成立，

于是，的取值范圍是[－，1]．

(2)∵x₁、x₂是方程f(x)＝0的兩根，即3ax²＋2bx＋c＝0的兩根為x₁、x₂，

∴x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝＝＝－.

∴|x₁－x₂|²＝(x₁＋x₂)²－4x₁x₂＝

∵－≤≤1，∴當且僅當＝1，即a＝b時，|x₁－x₂|²取最小值，即|x₁－x₂|取最小值．

此時，g(x)＝ax³＋ax²，f(x)＝3ax²＋2ax＝ax(3x＋2)．

令f(x)＝0，得x₁＝－，x₂＝0.

若a>0，當x變化時，f(x)、g(x)的變化情況如下表：

x	(－∞，－)	－	(－，0)	0	(0，＋∞)
f(x)	＋	0	－	0	＋
g(x)		極大值		極小值	

由上表可知，g(x)的極大值為g(－)＝a，極小值為g(0)＝0.

由題設，知a－0＝，解得a＝9，此時g(x)＝9x³＋9x²；

若a<0，當x變化時，f(x)、g(x)的變化情況如下表：

x	(－∞，－)	－	(－，0)	0	(0，＋∞)
f(x)	－	0	＋	0	－
g(x)		極小值		極大值	

由上表可知，g(x)的極大值為g(0)＝0，極小值為g(－)＝a.

由題設知0－a＝，解得a＝－9，此時g(x)＝－9x³－9x².