Question

（本小題滿分14分）設函數,其中.

(I)當時,判斷函數在定義域上的單調性;

(II)求函數的極值點;

(III)證明對任意的正整數,不等式都成立.

 

Answer 1

【答案】

(I) 在上遞增，在上遞減，當時,函數在定義域上單調遞增。

(II) 時，在上有唯一的極小值點；

時，有一個極大值點和一個極小值點；

時，函數在上無極值點。

 (III) 對任意正整數，取得

【解析】解：(I) 函數的定義域為.

，

令，則在上遞增，在上遞減，

.

當時，，

在上恒成立.

即當時,函數在定義域上單調遞增。

（II）分以下幾種情形討論：

（1）由（I）知當時函數無極值點.

（2）當時，，

時，

時，

時，函數在上無極值點。

（3）當時，解得兩個不同解，.

當時，，，

此時在上有唯一的極小值點.

當時，

在都大于0 ，在上小于0 ，

此時有一個極大值點和一個極小值點.

綜上可知，時，在上有唯一的極小值點；

時，有一個極大值點和一個極小值點；

時，函數在上無極值點。

（III） 當時，

令則

在上恒正，

在上單調遞增，當時，恒有.

即當時，有，

對任意正整數，取得