Question

本題滿分14分）已知函數，，其中．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

   （I）設函數．若在區間上不單調，求的取值范圍；

   （II）設函數  是否存在，對任意給定的非零實數，存在惟一的非零實數（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解析：（I）因，，因在區間上不單調，所以在上有實數解，且無重根，由得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

，令有，記則在上單調遞減，在上單調遞增，所以有，于是，得，而當時有在上有兩個相等的實根，故舍去，所以；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（II）當時有；

當時有，因為當時不合題意，因此，

下面討論的情形，記A，B=（）當時，在上單調遞增，所以要使成立，只能且，因此有，（）當時，在上單調遞減，所以要使成立，只能且，因此，綜合（）（）；

當時A=B，則，即使得成立，因為在上單調遞增，所以的值是唯一的；

同理，，即存在唯一的非零實數，要使成立，所以滿足題意．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m