Question

已知某市2011年新建住房400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價房。預計在今后的若干年內，該市每年新建住房面積平均比上一年增長8％，且每年新建住房中，中低價房的面積均比上一年增加50萬平方米。
(1) 到哪一年底，該市歷年所建中低價房的累計面積（以2011年為累計的第一年）將首次不少于4750萬平方米?
(2) 到哪一年底，該年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85％?
（參考數據：）

Answer 1

(1) 2020年底，該市歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于4750萬平方米．
（2）到2016年底，當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85％． 

本試題主要是考查了等差數列在實際生活中的運用。等差數列的通項公式和前n項和，以及等比數列的通項公式的運用。
（1）分析出中低價房面積形成數列{a_n}，由題意可知{a_n}是等差數列，其中a₁=250，d=50，可知前n項和。結合不等式得到結論。
（2）根據題意可知新建住房面積形成數列{b_n}，由題意可知 {b_n}是等比數列，其中b₁=400，q=1．08，，然后借助于等比數列的知識解決。
(1)設中低價房面積形成數列{a_n}，由題意可知{a_n}是等差數列，其中a₁=250，d=50，則S_n= 250n+×50=25n²+225n， 令25n²+225n≥4750，即n²+9n-190≥0，而n是正整數，∴n≥10．到 2020年底，該市歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于4750萬平方米．
（2）設新建住房面積形成數列{b_n}，由題意可知 {b_n}是等比數列，其中b₁=400，q=1．08，則b_n=400·(1．08)^n-1·0．85．由題意可知a_n>0．85b_n，有
250+ (n-1)·50>400·(1．08)^n-1·0．85，即20+ 5n>34(1．08)^n-1 ，即4+ n>6.8(1．08)^n-1
經檢驗，滿足上述不等式的最小正整數n=6．到2016年底，當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85％．