Question

是否存在一個三角形同時具有以下性質：
（1）三邊是連續的三個自然數
（2）最大角是最小角的2倍．

Answer 1

分析：設三角形三邊是連續的三個自然n-1，n，n+1，三個角分別為α，π-3α，2α，由正弦定理求得cosα=

n+1

2(n-1)

，
再由余弦定理可得 （n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n•

n+1

2(n-1)

，求得n=5，從而得出結論．

解答：解：設三角形三邊是連續的三個自然n-1，n，n+1，三個角分別為α，π-3α，2α，
由正弦定理可得

n-1

sinα

= 

n+1

sin2α

，∴cosα=

n+1

2(n-1)

．
再由余弦定理可得 （n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n•cosα，即 （n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n•

n+1

2(n-1)

，
化簡可得n²-5n=0，∴n=5． 此時，三角形的三邊分別為：4，5，6，可以檢驗最大角是最小角的2倍．
綜上，存在一個三角形三邊長分別為 4，5，6，且最大角是最小角的2倍．

點評：本題考查正弦定理、余弦定理的應用，求得n²-5n=0，是解題的難點，屬于中檔題．