Question

已知中心在坐標原點O的橢圓C經過點A(2,3)，且點F(2,0)為其右焦點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點，且直線OA與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）＝1（2）直線l不存在

(1)依題意，可設橢圓C的方程為＝1(a>b>0)，且可知左焦點為F′(－2,0)．
從而有解得
又a²＝b²＋c²，所以b²＝12，故橢圓C的方程為＝1.
(2)假設存在符合題意的直線l，由題知直線l的斜率與直線OA的斜率相等，故可設直線l的方程為y＝x＋t.由得3x²＋3tx＋t²－12＝0.
因為直線l與橢圓C有公共點，所以Δ＝(3t)²－4×3(t²－12)≥0，解得－4≤t≤4.
另一方面，由直線OA與l的距離d＝4，可得＝4，從而t＝±2.由于±2∉[－4，4]，所以符合題意的直線l不存在