Question

已知橢圓C₁和拋物線C₂有公共焦點F（1，0），C₁的中心和C₂的頂點都在坐標原點，過點M（4，0）的直線l與拋物線C₂分別相交于A，B兩點．
（Ⅰ）寫出拋物線C₂的標準方程；
（Ⅱ）若，求直線l的方程；
（Ⅲ）若坐標原點O關于直線l的對稱點P在拋物線C₂上，直線l與橢圓C₁有公共點，求橢圓C₁的長軸長的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）拋物線C₂有公共焦點F（1，0），可知該拋物線的標準方程的形式和P的值，代入即可；
（Ⅱ）設出直線l的方程為y=k（x-4），聯立方程，消去x，得到關于y的一元二次方程，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達定理和△＞0及，消去y₁，y₂，可求得斜率k的值；
（Ⅲ）設P（m，n），則OP中點為，因為O、P兩點關于直線y=k（x-4）對稱，利用對稱的性質（垂直求平方），可求得斜率k的值，聯立直線與橢圓方程，消去y，得到關于x的一元二次方程，△≥0，解不等式即可橢圓C₁的長軸長的最小值．
解答：解：（Ⅰ）∵拋物線C₂的焦點F（1，0），
∴=1，即p=2
∴拋物線C₂的方程為：y²=4x，
（Ⅱ）設直線AB的方程為：y=k（x-4），（k存在且k≠0）．
聯立，消去x，得ky²-4y-16k=0，
顯然△=16+64k²＞0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則    ①y₁•y₂=-16          ②
又，所以         ③
由①②③消去y₁，y₂，得k²=2，
故直線l的方程為，或．
（Ⅲ）設P（m，n），則OP中點為，因為O、P兩點關于直線y=k（x-4）對稱，
所以，即，解之得，
將其代入拋物線方程，得：，所以，k²=1．
聯立，消去y，得：（b²+a²k²）x²-8k²a²x+16a²k²-a²b²=0．
由△=（-8k²a²）²-4（b²+a²k²）（16a²k²-a²b²）≥0，
得16a²k⁴-（b²+a²k²）（16k²-b²）≥0，
即a²k²+b²≥16k²，
將k²=1，b²=a²-1代入上式并化簡，得2a²≥17，所以，即，
因此，橢圓C₁長軸長的最小值為．
點評：此題是個難題．本題考查了橢圓與拋物線的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系，是一道綜合性的試題，考查了學生綜合運用知識解決問題的能力．其中問題（Ⅲ）考查了同學們觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力，