Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2ⁿ·1·3·…·(2n-1),其中n∈N^*.

Answer 1

思路分析:用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題時(shí),關(guān)鍵是第二步,要注意當(dāng)n=k+1時(shí),等式兩邊的式子與n=k時(shí)等式兩邊的式子的聯(lián)系,增加了哪些項(xiàng)或減少了哪些項(xiàng),問題就容易解決了.

證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊1+1=2,右邊=2¹·1=2,等式成立.

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),等式成立,即(k+1)(k+2)…(k+k)=2^k·1·3·…·(2k-1).

則當(dāng)n=k+1時(shí),

(k+2)…(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)

=(k+1)(k+2)…(k+k)·2(2k+1)

=2^k·1·3…(2k-1)·2(2k+1)

=2^k+1·1·3…(2k-1)(2k+1).

即當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立.

由(1)(2)可知對一切n∈N^*,等式成立.

    誤區(qū)警示 當(dāng)n=k+1時(shí),等式的左邊容易錯(cuò)寫成(k+1)(k+2)…(k+k)(k+k+1).這時(shí)我們要注意式子(n+1)(n+2)…(n+n)的結(jié)構(gòu)特征以及該式與n之間的關(guān)系.