Question

已知實數a≠0，函數f（x）=ax（x-2）²（x∈R）
（Ⅰ）若函數f（x）有極大值32，求實數a的值；
（Ⅱ）若對于x∈[-2，1]，不等式f(x)＜

32

9

恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先求出函數的導函數，利用導數作為工具解決函數的極值問題，注意方程思想的運用；
（Ⅱ）將恒成立問題轉化為函數的最值問題是解決該題的關鍵．利用導數作為工具求出函數在給出區間上的最值，再列出不等式進行求解．

解答：解：（Ⅰ）由題意f（x）=ax³-4ax²+4ax，故f'（x）=3ax²-8ax+4a=a（3x-2）（x-2），
令f'（x）=0解得x=2或x=

2

3

，
∵f（x）有極大值32，
而f（2）=0
∴f(

2

3

)=32，代入原函數解出a=27．
（Ⅱ）f'（x）=a（3x-2）（x-2），由f′（x）=0得出x=2或x=

2

3

．列表如下：
當a＞0時，f(x)max=f(

2

3

)=

32

27

a＜

32

9

?a＜3，∴0＜a＜3
當a＜0時，
∴f(x)max=-32a＜

32

9

?a＞-

1

9

，∴-

1

9

 ＜a＜0
綜上a∈(-

1

9

，0)∪(0，3)．

點評：本題考查函數與導數的綜合問題，考查導數作為工具解決函數的問題，注意函數的極值與函數導數的關系，恒成立問題轉化為函數最值問題的轉化與化歸思想．通過解不等式求出字母取值范圍的化歸思想．