Question

已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線l：mx-y+1-m=0
（1）求證：對m∈R，直線l與C總有兩個不同的交點；
（2）設l與C交于A、B兩點，若|AB|=

17

，求l的方程；
（3）設l與C交于A、B兩點且k_OA+k_OB=2，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由于m的任意性，把直線l的方程化為（x-1）m-y+1=0，令x-1=0和-y+1=0求解，求出直線恒過點（1，1），將（1，1）代入圓方程的左邊，判斷出點在圓內部，得證．
（2）利用弦長先求出弦心距，再由圓心到直線的距離求出m的值．
（3）將直線l：mx-y+1-m=0，即y-1=mx-m，代入圓C：x²+（y-1）²=5，利用韋達定理，結合k_OA+k_OB=2，可求直線l的方程

解答：（1）證明：把直線l的方程化為（x-1）m-y+1=0，由于m的任意性，
∴

x-1=0 -y+1=0

，解得x=1，y=1
∴直線l恒過（1，1）
∵1²+（1-1）²=1＜5
∴（1，1）在圓C：x²+（y-1）²=5的內部
∴對任意m∈R，直線L與圓C總有兩個不同的交點
（2）解：由題意知，圓心C（0，1），半徑R=

5

；
∵l與圓交于A、B兩點且|AB|=

17

，
∴圓心C到l得距離d=

R2-( 1 2 |AB|)2

=

5- 17 4

=

3

2

，
∵直線l：mx-y+1-m=0
∴

|0-1+1-m|

m2+1

=

3

2

，解得m=±3，
∴所求直線l為y-1=±

3

（x-1）
即

3

x-y+1-

3

=0或

3

x+y-1-

3

=0；
（3）解：將直線l：mx-y+1-m=0，即y-1=mx-m
代入圓C：x²+（y-1）²=5可得：x²+（mx-m）²=5
∴（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

2m2

1+m2

，x1x2=

m2-5

1+m2

∵k_OA+k_OB=2
∴

y1

x1

+

y2

x2

=2
∴

y1x2+y2x1

x1x2

=2
∴

(mx1-m+1)x2+(mx2-m+1)x1

x1x2

=2
∴

2mx1x2+(1-m)(x2+x1)

x1x2

=2
∴2m×

m2-5

1+m2

+(1-m)×

2m2

1+m2

=2 ×

m2-5

1+m2

∴2m（m²-5）+2m²（1-m）=2（m²-5）
解得m=1
∴直線l的方程為y=x．

點評：本題考查直線過定點問題轉化為方程恒成立問題，以及圓與直線相交時半徑、弦長的一半和弦心距的關系和點到直線的距離公式，考查直線與圓的位置關系，有一定的綜合性．