Question

已知，數列{a_n}有a₁=a，a₂=2，對任意的正整數n，S_n=a₁+a₂+…+a_n，并有S_n滿足．
（1）求a的值；
（2）求證數列{a_n}是等差數列；
（3）對于數列{b_n}，假如存在一個常數b使得對任意的正整數n都有b_n＜b且，則稱b為數列{b_n}的“上漸進值”，令，求數列{p₁+p₂+…+p_n-2n}的“上漸進值”．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用s₁=a₁，分別代入可求a的值；
（2）欲證數列{a_n}是等差數列，只需證明a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，利用可證；
（3）根據定義先表示出p₁+p₂+…+p_n-2n=，再求其極限即可．
解答：解：（1）由已知，得，∴a=0…（4分）
（2）由a₁=0得，則，
∴2（S_n+1-S_n）=（n+1）a_n+1-na_n，即2a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n，
于是有（n-1）a_n+1=na_n，并且有na_n+2=（n+1）a_n+1，
∴na_n+2-（n-1）a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n，即n（a_n+2-a_n+1）=n（a_n+1-a_n），
而n是正整數，則對任意n∈N都有a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，
∴數列{a_n}是等差數列，其通項公式是a_n=2（n-1）．…（10分）
（3）∵
∴p₁+p₂+p₃+…+p_n-2n==；由n是正整數可得p₁+p₂+…+p_n-2n＜3，
并且有，
∴數列{p₁+p₂+…+p_n-2n}的“上漸進值”等于3．…（18分）
點評：本題的考點是等差數列的確定，考查數列的綜合問題，考查數列的遞推關系與通項公式之間的關系，考查學生探究性問題的解決方法，注意體現轉化與化歸思想的運用，考查學生分析問題解決問題的能力和意識．