Question

對a，b∈R，已知等差數列{a_n}的首項為a，公差為b，前n項和

S

n

=

5

2

n2-

1

2

n(n∈N*）；
等比數列{b_n}的首項為b，公比為a．
（Ⅰ）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式a_n、b_n；
（Ⅱ）對k∈N*，設f（n）=

an-4n+2，n=2k-1 log2 bn 5 +n，n=2k

若存在正整數m使f（m+11）=2f（m）成立，求數列{f（n）}的前10m項的和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由等差數列{a_n}的首項為a，公差為b，前n項和

S

n

=

5

2

n2-

1

2

n(n∈N^*），利用等差數列前n項和公式能求出a和b，由此能求出數列{a_n}、{b_n}的通項公式a_n、b_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=

n-1，n=2k-1 2n-1，n=2k

，再分m為正偶數和m為正奇數兩種情況進行討論，求出m，由此能求出{f（n）}的前10m項的和．

解答：解：（Ⅰ）∵等差數列{a_n}的首項為a，公差為b，
前n項和

S

n

=

5

2

n2-

1

2

n(n∈N^*），
∴na+

n(n-1)

2

b=

5

2

n2-

1

2

n，
解得a=2，b=5，
∴a_n=2+（n-1）×5=5n-3，
b_n=b•a^n-1=5×2^n-1．
（Ⅱ）∵a_n=5n-3，b_n=5×2^n-1．
∴f（n）=

an-4n+2，n=2k-1 log2 bn 5 +n，n=2k

=

n-1，n=2k-1 2n-1，n=2k

，
（1）當m為正偶數，則m+11是正奇數，
f（m+11）=m+10，f（m）=2m-1．
代入f（m+11）=2f（m）中，得m+10=2（2m-1），解得m=4；
（2）若m為正奇數時，則m+11是正偶數，
則f （m+11）=2（m+11）-1=2 m-21，f （m）=m-1．
代入f（m+11）=2f（m）中，得2 m-21=2（m-1），
解得19=0，顯然不成立，此是m不存在．
故所求m=4．
設{f（n）}的前n項和為S ，
則S_10m=S₄₀=（0+2+4+…+38）+（3+7+11+…+79）
=

20(0+38)

2

+

20(3+79)

2

=1200．

點評：本題考查數列的通項公式和前n項和的求法，解題時要認真審題，注意分類討論思想的靈活運用．